阿基米德的杠杆原理、欧几里德的光学、托勒密的数理天文学等等是些真正的异数，今天回顾，他们的确是实证科学的先驱，然而，他们不是希腊episteme的代表。天文学、光学、声学、静力学在希腊化时期以及后来在中世纪逐渐形成了近代数学化科学的雏形，但它们当时并未对哲学思辨的统治地位构成丝毫挑战。
数学和自然哲学的关系到近代发生了根本的转折，若说在柏拉图那里，数学曾经是研习哲学的准备，那么对伽利略来说，数学是用来取代哲学的，如果哲学还值得研习，那它倒是为用科学方法研究现实做些准备。
近代物理学从根本上是对自然的数学化认识。把注重数学和注重实验作为近代科学的两个并列的特点反而会使近代科学的本质变得模糊不清。科学史家经常提醒我们，古代科学家、中世纪的炼金术士对实验手段都不陌生。另一方面，近代科学发展初期的科学家多半是学者型的理论家，他们主要从事原理探索，从外表上看，他们和传统的哲学家非常相似。伽利略本人就说过他很少做实验，他做实验的主要目的是为了反驳那些不相信数学的人。人们一开始引入近代实验方法，在很大程度上不是为了验证新科学的理论，而是为了反对经院哲学的成说，反对宗教…哲学理论。大多数实验是由工匠、技师做的，“他们没有找出更深的内容和规律性的东西，只是获得了一些普遍的、实用性的知识。而且，直到17世纪中叶，所做的实验都不是判决性的。”实验的地位受到广泛质疑，理论家们不仅不大信任实验方法，有时甚至认为实验方法是反科学的。夏平在《Leviathan and the Air…Pump》一书中介绍了霍布斯和波义耳的争论。霍布斯对波义耳的真空实验做了猛烈抨击。在霍布斯看来，只有合理的推理是重要的，波义耳依赖的不是合理的思考，而是精心构造的工具和皇家学会会员的见证，这样的工作不是哲学，其方法不仅是错误的，而且是危险的。可以说，在近代科学早期，新科学的原理探索和实验工作并不总是携手并进的，在两者之间经常发生方法论上的争论。直到较后，学者和实验家才联合起来，甚至合二为一，共同反对经院哲学，共同建构新型的科学理论。
数学化不仅是近代科学诸特征中最突出的特征，数学化从本质上规定着近代科学。温伯格曾讨论米利都学派和原子论的自然哲学，对后者赞赏有加，接着却口风一转：不论米利都人“错了”，还是原子论者在某种意义上“对了”，都无关紧要，在希腊“科学”中，“没有一点儿东西像我们今天对一个成功的科学解释的理解：对现象必须有定量的认识。”温伯格接着说，他在给文科学生讲物理的时候，觉得最重要的是让学生学会计算阴极射线的偏转和油滴的下落，这倒不是说任何人都需要学会计算这些东西，“而是因为他们能在计算的过程中体会物理学原理的真实意义。”
克莱因总结说：“近代科学成功的秘密就在于在科学活动中选择了一个新的目标。这个由伽利略提出的并为他的后继者们继续追求的新目标就是寻求对科学现象进行独立于任何物理解释的定量的描述。”笛卡尔是一个最典型的实例。他把整个自然还原为长宽高三维以及位移运动，就是说，还原为可以进行定量研究的对象。近代科学标志着我们对自然采取了一种新的态度，这种态度就是外在的态度或曰数学的态度。海德格用他特有的句式说道：“近代科学的基本特征是数学性的东西，这倒不是在说，近代科学是用数学进行工作的；这倒是要在某种意义上表明，狭义的数学只有根据近代科学才得以发生作用。”
讲到这里，我们可能会想到柏拉图的蒂迈欧篇，他在那里把基本元素设想为几种正多面体，即一些纯粹的几何形态。的确，和亚理士多德相比，柏拉图的数学倾向非常突出。在西方思想传统内部，人们一直看到两种对立的取向，一是毕达哥拉斯…柏拉图传统，他们重数、数学、形式，一是亚理士多德传统，重经验、生物学、有机生长。尽管如此，我们仍不难看到柏拉图和笛卡尔的巨大差别。首先，柏拉图的正多面体元素尽管体现了把自然数学化的一大步，但它是一种思辨，而不是拉卡托斯意义上的研究纲领。其次，在希腊〔以及在中世纪〕，主宰数学王国的是几何，代数始终处于附庸的地位。几何形态，如三角形、圆、立方体等，是具有质的。这一点亚理士多德曾格外予以强调。而笛卡尔把质从几何学中消除了。笛卡尔创建了解析几何，使代数成为数学王国的君王。通过解析几何的技巧，很多原本被认定为不同性质的线和图形被归约为可以换算的代数公式，从而，“以前一向为几何学家所避免的许多曲线就有了和比较常见的曲线相同的地位了。”在笛卡儿的几何学中，在对几何的这种新的理解中，几何学本身也不再依赖于形象，图形只是数学公式的外部表现而已。数学在欧几里德那里脱离了感应，在笛卡尔这里脱离了感性。
科数运与数学（2）
迪昂描述了物理学理论形成的四个相续阶段的操作特征。一，选择那些简单的可测量的物理性质，用数学符号加以表征。二，用少数原理把不同种类的量连接起来。三，按照数学分析的法则把不同原理结合在一起。四，由这些原理推论出来的后果将被翻译为一些可与实际测量相比较的判断，并与实验定律进行比较。我们看到，这四个特征都和量化有关。乃至迪昂总括说：“物理学理论不是说明。它是从少数原理推演出的数学命题的体系。”在另一处迪昂说，十七世纪的新哲学家们要求自己的理论“毫无例外地只处理量，严格排除任何定性的概念”。
自然哲学是所谓定性的，它致力于解释现象为什么会发生的原因。例如亚理士多德用大量篇幅尝试解答为什么抛向空中的物体会回落到地面上。中世纪思想家用自然厌恶真空来解释虹吸等现象。与之相对，近代科学要求的是定量研究，例如一个落体下落时间与下落速度、下落距离之间的函数关系。伽利略指出，关于原因…原理的玄思并不能够增加知识，这种玄思的进展不过是一种解释取代了另一种解释，哪怕我们用一种较合理的解释取代了一种较稚弱的解释，我们的知识并没有什么增进。伽利略是对的，自然哲学旨在改善我们的理解，而非主要在意知识的积累。
定量研究得到的是公式。公式不是对现象的解释，而是采用一种新的语言重新对现象进行描述。这一点之所以常常被误解，因为数学描述不同于我们通常所说的那些有声有色的描述，而是在描述现象背后的规律。自由落体定律描述了一个物体怎样下落，而没有解释这个物体为什么下落，它为什么开始下落以及是否将继续下落。万有引力似乎提供了一种原因方面的解释。但上一章及其他处已说明，与其说万有引力是一种物理原因，不如说是一个数学原理，就像牛顿本人所称，万有引力不是一种物理力，而是一种“数学的力”。
科学的数学化所说的还远远不止数学的大规模使用，近代科学数学化的更深一层含义是科学家从整体上不再把数学仅只视作操作的方式，数学正是探求自然世界的最正当的途径，甚至是唯一的途径。科学革命见证了一个基本转变，人们过去对待数学分析主要抱持操作态度，现在则“以一种更富实在的态度取而代之”。现在，“数学分析揭示的是事物的必然如此，如果计算行得通，那一定是所拟议的力量是真的。”牛顿把万有引力称作“数学的力”，在牛顿的那些段落里，不难看出他在为“数学的”和“物理的”两者之间的区分苦恼。然而，对物理世界的基本理解正在发生转变。并非在数学的理解之外我们仿佛还另有对物理世界的真实理解。牛顿恐怕从来没有真正怀疑过万有引力的“真实的物理的意义”。在《原理》的结尾部分，牛顿直截了当宣称，revera existat，万有引力实际存在。
正如牛顿的主要著作题名所昭示的，近代科学的原理是数学，而不再是形而上学。数学，而非形而上学，造就理论。我们不妨在比喻的意义上说，数学成为新时代的形而上学，不过，在这些本来已经够纠缠的局面里，还不如简单清楚地说：数学取代形而上学成为物理学的meta，成为物理学之原。
从伽利略和牛顿开始，越来越多的自然现象得以用数学语言来成功地加以描述。一两个世纪以后，物理学整体上数学化了，从伽利略起直到今天，“‘数学物理学’与‘理论物理学’这两个用语是可以替换使用的”。克莱因表达了相同的看法：“任何近代物理理论实质上是一个数学方程体系，”对于这一点，“那些没有进入到〔数学〕这座现代德尔菲神秘之城的门外汉是不满意的，但是现在科学家已经学会接受了。的确，面对如此众多的自然界的神秘，科学家非常高兴把自己隐藏在数学符号之中。”
今人回顾科学革命时代，不会不谈到数学在力学中的巨大成功，而同样明显的是，那时的人们曾普遍希望运用数学推理来通达一切知识领域。知识的整体观念在发生转变。斯宾诺莎要把整个人的研究都并入数学：“我将要考察人类的行为和欲望，如同我考察点、线、面和体积一样。”物理学成为科学的典范。其他学科一一跟进。康德的这句话被引用了无数次，让我再增加一次：“我断定，在所有关于自然的特定理论中，我们能够发现多少数学，就能发现多少真正的科学。” 哈维把定量研究引入生理学，据科恩说，这也是哈维最初能获得支持的唯一理由。达尔文理论仍是定性理论，但且不说生物学中有相当一部分逐渐变为应用物理学和化学的一个分支，从孟德尔开始的遗传学最初就是由数量分析引导的，到二十世纪，与遗传学相合并的“新达尔文综合”引进概率论，到了今天，已是一种高度数学化的理论。例如，关于群体中的基因频率在世代交替过程中保持不变的哈迪…温伯格原理就是通过纯粹数学方法得出的。乔治·威廉姆斯说：“在最终意义上，自然选择涉及的是一个控制论意义上的抽象概念即基因，以及一个统计学意义上的抽象概念即平均表现型适合度。”若对音乐进行科学研究，音乐学就是数学的一个分支。把音乐分析为音高、音色、音量、节奏，就可以清楚地看到，“音乐实质上是用数字来表示的”。
有多少数学，就有多少科学。数学构成了科学的硬核。物理学是“硬科学”的典范，用斯蒂芬·科里尼的话说，物理学一向被视作“硬科学”中的最硬者。生理学和生物学仍然不像物理学那样硬。我们用同样的眼光看待社会科学，在社会科学里，经济学是最硬的科学，社会学之属努力把数学引入自身，但其“科学性”还远远不如经济学。
自然由深藏在现象/事物背后的数的运行或数的规律指挥，这是一个古老的信念。不过，在那个古老的时代，数这个概念还夹杂着大量感应因素。利用纯数学来描述我们实际身处其中的现象/事物，这在古代的成功应用是很有限的。这些描述远不能提供整体的自然图景，它们毋宁是用来加固这个信念的一些例证。而近代以数学为原理的思想，则要求全面地使用数字来描述每一自然现象。数学在近代科学中的应用不仅远为广泛，而且远为深刻。经过数百次连续演绎推理得出的一个定理，在应用中竟被证明是完全正确的，这似乎只能给出一个结论：自然界是按照一个合乎理性的计划设计的。数学成了理性的代名词。在新进的思想家看来，要坚持理性态度，就等于用数学来考虑问题。理性由合情合理转变为数学理性。
为什么是数学？（1）
为什么是数学？
我们勾画了近代科学数学化的轮廓。但我们最关心的是这个问题：为什么数学或数学化能够成就科学革命？能够让物理学家们深入外部宇宙的机制，获得哲学…科学无法企及的巨大成果？这是问题把我们引向一片人迹罕至的林野，本节尝试迈出几步粗拙的探索。
数学的优点常被人称道：数学概念的准确性、论证过程的严格性、数学真理的确定性和普遍性。
数学是精确的，因此近代科学中成熟的部分得名为“精确科学”。数字可以描述极小或极大的量，我们平常说长短、很长、很短，这些说法是不精确的，身高1。88米和1。90米都是个子很高，但1。88米和1。90这两个数字却说出了两者的细微不同。不过这种意义上的精确是乏味不足道的，在这个意义上，“数学是精确的”这话没说出什么特别的东西，无非是说数学语言是专门用来处理量的，所以它特别适合处理包括量上的细微区别在内的各种与量有关的事情。羡慕和仰慕有细微的区别，准确和精确这两个词有细微区别，但这些区别并不适合用数学来处理。有时我们会说，我爱你甚于你爱我，但我们不会说，你对我的爱是我对你的爱的78％。在这些事情上，我们不知道精确量化是什么意思。有各种各样的准确性，我说丁丁你到我这里来一下，丁丁不会问：到东经多少度北纬多少度。“到这里来一下”不准确吗？在这里够准确了。维特根斯坦举了个好玩的例子，他叫他的仆人把切面包的刀拿来，他的仆人拿来了一个刮胡刀，他说我要的是切面包的刀，仆人说，我给你的是一把更精确的刀。
自然语言原本是包含数字的，如果需要，我们也能够用自然语言来表示各种量上的差别。然而，如亚里士多德的十范畴所提示的，量只是我们平常所关心的种种范畴中的一个，我们平常更多关心的是质，自然语言在表示极细微的量上的差别相当笨拙就是可理解的了。
“数学是精确的”这一说法的远为重要的意义是说：数学是明确无歧义的，数学描述和数学推理具有唯一性。笛卡尔赞美数学的明确性，就是着眼于数学推理的唯一性。从人皆自利可以推出母亲在和女儿利益冲突时将保护她本人的利益，也可以推出她将保护女儿的利益，这是因为自利概念或自我概念包含着丰富的或曰芜杂的〔视你的立场而定〕内容。而从2＋2只能推出4。所谓数学论证的严格性及其结论的确定性，也就由此而来。
与精确性和唯一性相关的是全等的概念。2＋2＝4，完完全全相等。自然概念中也有些“同义词语”，例如快乐和愉快，例如张三打了李四和李四被张三打了，但它们之间几乎总是有点儿细微差异的，而87＋133=110＋110却是完全相等。
但这样来比较数学中的全等和自然表达式之间的近似是不妥当的。数学中能够出现全等，不是由于数字精确，而仍然是由于数学是描述量的语言。羡慕和仰慕有细微的区别，这种区别不是量上的区别。而量之间的可比与质之间的可比不是一回事。质在某种意义上也是可比的，这一红色比那一红色更红，这一曲子比那一曲子更悦耳，这人比那人更善良。但是，大的量是由小的量相加而成，较强的质却不是由较弱的质相加而成。在一个笑话里，张三说：今天真热，32度；李四应道：是啊，昨夜才16度，今天白天比昨天夜里整整热了一倍。如迪昂所指出，把很多暗红色的布头缝在一起并不会得到一块鲜红的布，很多平庸的数学家聚在一起不会成为拉格朗日。“质的每一强度都具有它自己的个性特征。”
量上的可比性是为计算服务的。为了能够�