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量上的可比性是为计算服务的。为了能够计算，我们就需要把质的强度转换为量的大小。例如，我们用温度计里水银柱的高低来标示冷热的变化。两个较热不能相加为更热，但水银柱标度的数是可以加减的。进一步，我们还要努力把不同的质转换为可以换算的量，例如把红黄这些颜色转换为波长。“为了使数学家把具体的实验境况引进他的公式，就必须以测量为中介把这些境况翻译为数。”物理学从量上来看待自然，描述自然，因此，它要求把各种质还原为量，从而纳入可计算的范围。笛卡儿要求把一切性质都还原为长宽高，用意在此。
从伽利略以来，圆锥曲线运动就被视作两个直线运动的综合。我们不妨说，从数学的角度来看，存在着两个运动。不过，这里的“看”是看的衍生意义，严格说，数学并不看，而是分析和计算。较少误解的说法是，采用数学语言，圆锥曲线运动就可以被描述为两种运动之合成。伽利略为什么要多此一举呢？因为把圆锥曲线还原为两条直线我们就能去除曲线和直线之间的以及不同种类曲线之间的质的区别，使得不同的性质的轨迹可以互相比较和换算，可以充分用数学来处理。
因此，全等并不是从数学的精确性中产生出来的，而是数学语法的基本设置――数学语言本来就是用来进行计算的，或者说，是用来进行计算式推理的。数学中的等式是量之间换算的主要工具。自然概念则首先是质的，我们关心的是羡慕和仰慕在质上的区别，量上的区别是第二位的。所以，全等在自然语言中并无用武之地，因为自然语言的用途不在于计算。
数学的真正独特力量来自它的普遍性或普适性。巴伊说，“数学解释的优势在于它们具有普遍性。”这代表了很多论者的看法。尽管人们经常称说数学的普遍有效性，但人们是在什么意义上谈论普遍的，并不很清楚。数学普遍性的深层含义是：在一切现象下面，都有物理结构，而这个物理结构只能用数学来表示。这种迂回的普遍性是还原论的一部分，这里无法深谈。通常，数学的普遍性被理解为数学可以直接应用于万事万物。这显然颇有疑问。一方面，哲学不也具有普遍性吗？古希腊的原子论、决定论、一分为二，都说是普遍规律或一般世界结构。另一方面，两个相濡以沫共同生活了多年的夫妇感情破裂，我们很难用数学来解释破裂的原因，也很难用数学计算出其间的谁是谁非。
为什么是数学？（2）
要理解数学的“普遍性”，关键在于认识到并牢记：数学是一种语言，“大自然这部书是用数学文字写成的”这句箴言已经明白说出了这一点。数学不是和物理学并列的一门科学，数学家的工作不同于物理学家的工作，纯数学家研究数学，很像语言学家研究语言，用齐曼的话说：“纯数学并不是普通的科学……纯数学家是语法和句法的专家。”数学不是一门“自然科学”，这虽众所周知，但在反省科学的性质之时却经常遗忘。
数学是一种语言，所谓数学的普遍性无非是说：数学是一种通用的语言，而不像英语、汉语、斯瓦西里语那样是一个语族所使用的语言。只有通用语言才能提供普适理论。
哲学曾希望找到世界的客观的本质结构。然而，即使找到了，我们的表述也会因为语言的限制而受到歪曲。也许是德国人最先发现了世界的因果机制，发现了人生的终极目的，这时，我们能用汉语来表述这些吗？显然，如果原因不恰恰等同于Ursache，幸福不恰恰等同于Gluecklichkeit，那么，在用汉语表述这一结构时就会走样。当然，困难远不止于表述。哲学家们最初出发去寻找的是原因吗？还是去寻找Ursache？还是cause？还是aitia或别的什么？希腊人对这里的麻烦不敏感，他们只承认一种语言。中国古人对此也不敏感。这个麻烦后来却越来越困扰近代的欧洲思想家。发明或发现一种普遍语言成为近代思想家的持续不懈的努力，从培根和莱布尼茨到柴门霍夫，从弗雷格到乔姆斯基和S。平克。莱布尼茨希望构造一种普遍语言，以使我们的论证变得和计算一样。然而，何必另外构造一种，数学就是现成的普遍语言。在数学语言之外，我们无法找到这种语言；要让论证变得和计算一下，就不得不让语言变成数学语言。
为什么数学语言会成为普遍语言呢？简言之，数学的普遍性来自量的外在性。数学是描述量的语言，而量是互相外在的。亚理士多德说，量是具有相互外在的部分的东西。迪昂评论说这一说法过于简单，在我看，简单固然简单，这个说法却委实道出了量的本质。很多哲学家都见到量的根本规定是外在性，亚里士多德如是观，黑格尔也如是观。
纯量的语言把一切关系转变为外在关系。数字没有概念内容，它是一个纯形式符号，其“意义”完全由它与其他同族符号的〔外部〕关系规定。数学成为普遍语言，这不是说，数学语言比到处泛滥的英语更加普遍，它也不是像世界语那样的建制，数学之成为普遍语言，因为它是另外一类语言，它由不具内涵的符号组成，这些由外在关系所连接的符号组成一个数学系统，“一个没有经验内容的庞大而精巧的概念结构”。按照希尔伯特的说法，去除了概念内容之后，“我们最后得到的不是用普通语言传达的实质数学知识，而只是含有按照确定规则逐次生成的数学符号和逻辑符号的一组公式而已。……于是实质演绎就被一个由规则支配的形式程序替换了”。迪昂从一个稍有不同的角度概括了这个转变过程，他说，科学家不去单独研究所涉的概念，而是把它们转化为维度概念，以便用数来表示它们。接下来，“他们不是把这些概念的性质本身联系起来，而是把测量所提供的数交付按照固定的代数法则进行的处理。他们用运算代替演绎。”
由规则支配的形式程序替换了实质演绎，从而能进行漫长的推理而不失真。数学推理的长程有效性给笛卡儿以最深刻的印象：“几何学家通常总是运用一长串十分简易的推理完成最艰难的证明。这些推理使我想象到，人所能认识到的东西也能是像这样一个接着一个的，只要我们不把假的当成真的接受，并且一贯遵守由此推彼的必然次序，就决不会有什么东西遥远到根本无法达到，隐藏到根本发现不了。” 用费曼使用过的一个比喻来说，数学推论就像晶体阵列，晶体一端的原子的位置决定了晶体另一端的原子的位置，即使相隔上百万个原子，这种决定关系仍然有效。
数学推理无疑和概念演绎有亲缘，但数学推理自有其特点。我们的自然语言是我们的经验培育起来的，它受到我们的感性和经验的约束。自然语言也含有逻辑，我们能依循其中的逻辑通达我们不能直接感知的事物，我们多多少少能够理智地谈论神明、物自体、月上天球的互相作用方式，然而这些谈论始终受到可感的特殊事物的约束。上节说到，由于自利概念包含着多维的内容，含有自利概念的自然推论就不可能具有唯一性。我们甚至可以说，在自然推论中，想象力比逻辑能力所起的作用更大。受过近代科学方法训练的人，难免不抱怨使用自然语言进行推论太不确定、太含混，缺少必然性。而在数学推理中就没有这些不便。数字没有概念内容，它和其他数字的关系是外在的，就是说，一个数字完全是在它和其他数字的比例中被定义的，通过等式的不断转换，数学推理无论走多远，都保持着原本的完全等同。具有了这种外在性，数学推理就可以突破感性的藩篱，走得很远很远，通达我们的自然认识无法企及的事物，不断有效地扩大我们的知识领域。“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度”，然而，通过等式的不断转换，我们就可以度量巨大的宇宙和微小的粒子。通过把一颗彗星的椭圆轨道描述为由它固有的直线运动与受到太阳引力作用而做的直线运动所合成，我们就能够计算出这颗彗星的整个轨迹，包括它处在无法被观察到的遥远空间的轨迹。我们现在知道地球的大致重量，这不是我们用秤称出来的，而是通过数学分析和演算得出的。
数学理解力
这种摆脱了感性的外在推理有它的代价，那就是丧失直观。圆锥曲线运动被分解为两个直线运动的综合，这有助于计算。但我们看到的是一个单一的曲线运动，而不是两个直线运动。我们的自然理解始终依赖直观，数学语言则迫使我们进入一种新的理解，这里要求的是“数学理解力”，这是一种特殊形式的理解力。
一项原理被分解成了若干基本的逻辑步后，一位初学者也可以对照演算规则逐步检验整个证明是否正确。他无须对该原理有什么理解。学习数学和逻辑演算所需要的理解体现在另外一个层面上，在这里，有所理解大致是说，一个学生明白这个问题为什么可以分解为这些逻辑步，换言之，他明白这些分离的逻辑步为什么合在一起就证明了该结论。因此，他能收到举一反三之效，把另一个问题分解为和这些逻辑步对应的东西，从而一步步加以证明，或者能指出某一证明过程中出现了缺陷、错误。基于这种理解，他甚至还可能提出对某一证明过程加以简化或改进的方案。
笛卡儿赞叹几何学证明是那样简单易解，然而齐曼却另有高见：“数学推理的实质是它的每一小部分很容易理解，而合在一起则很难理解。” 一小步一小步的理解在技术性上构成一个总体的理解，但那不是直观意义上的整体理解。数理演算的理解与理解一个哲学命题、理解道德准则、理解一首诗是大不相同的理解，任何一个被要求去修一门理科的文科学生都会有强烈的体会，反过来，只习惯数理理解的学生可能觉得诗或哲理十分难解。
数学理解，我会说那是一种技术性的理解，一种通过专业训练培养起来的理解。你不理解前一个定理，就无法理解下一个定理。读亚里士多德的《物理学》也需要有所准备，需要一般的良好理解力，还需要认真耐心的阅读习惯、对希腊文化的一般了解，还得有点儿想像力，但你不需要什么技术性上的准备。你认真阅读了，你会有或深或浅的理解，无论深浅，这些都是直接的理解。“理解”这个词就包含着直接性。通常理解不是按照固定的代数法则演进，各种理解互相渗透。对应亚里士多德来说，无论是研究物理还是研究动物还是研究城邦，都是要增加对世界整体的理解。技术性的理解却不是这样，我可以在某一领域达到极高的数学理解，但我却缺乏对其他事物的一般理解。
在技术性统治的时代，数理类型的理解被视作最高的理解，这不啻颠三倒四。在数量关系中，感性内容被清洗掉了，而我们平常所谓理解，始终是包含着感觉的理解，可以说，越富有感觉，就理解得越深厚。数学固然可以在一个抽象的意义上描述物质的结构，并且得出正确的预言，但是我们却不能通过数量来直接理解这个世界。前面说到，虽然希腊人的数学相当发达，但亚里士多德在物理学中却几乎不使用数学。这一点反映了亚里士多德所理解的哲学…科学是在何种意义上寻求世界的真理。古代哲学…科学之寻求真理，是在寻求一个可以被理解的世界。这个“理解”，是指蕴含丰富感性的理解，这是数学所不能达到的。前面说到，现在，各门学科，包括社会学科甚至人文历史学科，都在争先恐后引进数学模式，以便成为真正的科学。经济学比社会学、政治学更科学，因为它包含更多的数学硬核。在近代的意义上，经济学也许越来越科学，但从希腊的哲学…科学来看，经济学对人的经济活动和社会活动越来越无所理解。
自然理解才是本然的因此也是最深厚的理解。如卢瑟福所说，如果我们不能以一种简单的非技术的方式解释一个结果，我们就还没有真正弄懂它。据大卫·L·古德斯坦和格里·纽吉堡尔说，费曼曾打算给大学一年级学生开一次讲座，解释自旋等于1/2的粒子为什么服从费米…狄拉克统计，后来他放弃了这个打算，费曼说：“我没法把它简化到大学一年级的水平。这意味着实际上我们并不理解它。”
法拉第曾写信问麦克斯韦，他是否能用普通语言来表达其数学工作的结论，以使非数学家能够理解他的工作并因此受益。克莱因在引述这封信后说到：“遗憾的是，法拉第的这个要求直到今天仍得不到满足。”这是当然的，我们一开始采用数学语言，就是因为它不受自然理解的束缚，通达某些我们由于感性限制所不能了解的真实。数学语言的长处和短处是一个硬币的两面。数学语言之所以适合于长程的严格推理，恰因为它不受弥漫感受性的约束，恰因为它不是由感觉〔意义〕引领进行推理的。如果数学语言充满了意义，它将失去它的根本长处，即可借以进行长程的严格推理。
数学描述完美符合定义的抽象的存在，但这个存在却被剥夺了其他属性。这是反对把数学应用于社会科学的最基本的理由之一。齐曼问道：IQ相加的算术运算能有什么意义呢？87＋133=110＋110在智力范围内没有对应物。塔西奇直白说：“图灵机这种抽象的计算机被专门设计来捕捉我能够计算的所有对象，但不是我能够做的所有事情。图灵肯定没有把他的模式运用到对人类婚庆仪式的详细研究之中。”就像语言不能穷尽我们身处其中的世界的生动与丰富，数学语言触及不到很多日常事实。它就事物之可测量的维度加以述说。数学的普遍性绝不是数学的普遍适用性，例如，“对于探讨科学的实际变化的历史学家来说，数学是一个不良先例，一个无论如何都不能推广的例子。”
回过头来看，声称数学具有普遍性是浮面之见。数学的确建立了某种普遍的联系，然而它破坏了另一种统一的联系。我们在数字中看到了炮弹、地球和行星运动的一致性，而不是在感觉、经验之中。世界不再是统一到人的象中，而是统一到数字中。如柯瓦雷所云，感性的世界瓦解了，代之以“理智的统一性”，库恩应和道：“最后，分崩离析的亚理士多德宇宙被一种全面而融贯的世界观所取代，人类自然概念的发展进入了新的篇章。”
自然哲学（1）
章七
自然哲学与实证科学
自然哲学
亚里士多德的《物理学》是自然哲学的典范著作，与柏拉图的《蒂迈欧篇》等对话一道，构成了自然哲学的源头。近代科学在某种意义上是自然哲学的继承者，在这个意义上，人们自有道理把亚理士多德称作科学之父，物理学之父。然而，对于希腊哲学…科学，近代科学既是继承人，又是颠覆者。因此，我们必须强调，亚里士多德的《物理学》是自然哲学，不是近代意义上的物理学。
自然哲学是哲学，是哲学的一个分支，它具有哲学的种种特征而非科学的特征。我们读亚里士多德的《物理学》，或希腊其他论自然的著作，从感觉上就发现它们和近代科学著作相差甚远，它们和当时的其它理论著作如政治学、形而上学比较接近，和后世黑格尔之类的自然哲学著作比较接近。自然哲学并列有不同的体系，每一个体系更多地展现某个哲学家首创的总体解释，而不在于为这一学科的知识积累做出贡献。亚里士多德的自然哲学里没有什么实验设计和实验结果，没有什么数据和数学公式。你要读懂亚里士多德