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又一次，在欧几里得的数学，跟成熟的伯里克利时代的希腊对仪式性的公共生活或孤独感全无感觉之间，存在着一种类比，而巴罗克时代——与古典时代迥然不同——则向我们展示了一种空间分析的数学，一个凡尔赛的宫廷，以及一个依托于王朝关系的国家制度。
在数字的世界中所显示的，正是一种心灵的风格，故而数字的世界，除了有关于它的科学之外，还包括其他一些东西。
三
由上所述，我们可以看到一个具有决定性意义的重要事实，这一事实迄今为止连数学家自己都未能洞明。
数字本身并不存在，也不可能存在。所存在的乃是多个数字世界，如同多种文化的存在一样。我们发现的是一种印度数学思想、一种阿拉伯数学思想、一种古典数学思想、一种西方数学思想，与这每一种数学思想相对应的是一种数字类型，而每一类型根本上都是特殊的和独一无二的，是一种特定的世界感的表现，是一种有着特定的有效性、甚至能科学地定义的象征，是一种排列既成之物的原则，这原则反映着一种且仅仅一种心灵亦即那一特殊文化的心灵的核心本质。由此言之，世上不只有一种数学。因为，不容置疑的是，欧几里得几何学的内在结构与笛卡儿几何学的内在结构是完全不同的，阿基米德（Archimedes）的数学分析是与高斯（Gauss）的数学分析完全不同的东西，不仅仅是在形式、直觉和方法上，而且本质上首要的是在他们各自提出和说明的数字的内在的和必然的意义上。这种数字，这一在其中可以使现象获得自我解释的视界，以及因此，这一被限定在给定范围且服从于其特殊类别的数学的“自然”或广延的世界的整体，并不是所有人类所共有的，而是各具特色的，各属于一种确定的人类的。
因此，所存在的任何数学的风格整个地都依赖于它所扎根的文化，依赖于那构想它的特定人类。心灵能将其固有的可能性付诸科学的发展，能实际地控制这些可能性，能在对这些可能性的处理中达到最高的水平——但它根本无力改变这些可能性。欧几里得几何学的观念在古典装饰的最早形式中就被实现了，微积分的观念在哥特式建筑的最早形式中就被实现了，比这各别文化第一个渊博的数学家的出生要早好几个世纪。
一种深刻的内在经验或者说真正醒觉的自我可以把儿童转变成高级人，可以把他纳入他的文化的共同体中，而这正是他的数字感出现的标志，亦是他的语言感出现的标志。只有在这之后，客体才会对那醒觉意识存在，才会呈现为诸如数字之类的有限度的和可区分的东西；只有在这之后，周围世界的那些属性、概念、因果必然性和体系，或者说世界的形式和世界定律（因为那被设定和被解决的，事实上就是被限定的、被坚固的、受数字控制的）才易于被准确地定义。并且由此，还会对测量和计算、绘图和形式的深奥意义产生一种出乎意料的、几乎形而上的恐惧感和敬畏感。
如今，康德已依据先天综合判断（普遍必然的有效性）和后天综合判断（经验的和随情形而变的）对人类知识的总体进行了分类，其中前一类知识就包括有数学知识。由此，毫无疑问，康德就可以把强烈的内心感受还原为抽象的形式。但是，康德这么做完全偏离了这样一个事实（在现代数学和现代力学中已被充分地证明了），就是：在这两种判断之间，根本不存在如此界限分明的区分，如同在先天判断原理中根本地和无条件地示意出来的，先天本身虽则确然是哲学中的一种最具启发性的概念，可似乎也是一个包含着许多困难的观念。康德为它总结了两个特性——但并没有试图去证明那一根本不能证明的东西——即在所有的理智活动中，它既具有形式的不可改变性，同时又具有对所有人而言形式的同一性。结果，一个具有不可估量的重要性的因素完全被忽视了——这要归功于康德时代的理智的先入之见，更别说康德本人的了。这一因素便是那一所谓的“普遍有效性”的伸缩度e varying degree）。真正范围广泛的有效性具有某些无可怀疑的特征，这些特征（表面上看是在任何时候）是独立于文化和认知个体所属的时代的，但与这些特征相伴随的，必定还存在一种十分特殊的形式必然性，为认知个体的所有思想成为定理奠定基础，而认知个体由于只属于他自己的文化而不属于别的文化，故而必定会受到这一形式必然性的影响。这样，在此我们便有了两种完全不同的先天的思想…内容，去对它们之间的交界线作出界定，甚至于去证明存在这样的交界线，都是一个难题，这难题超出了认识活动的所有可能性，永远也不会得到解决。迄今为止，没有人敢说，心智的假定的恒在结构是一个幻觉；没有人敢说，就在我们眼前展现的历史包含了不止一种认知风格。但是，我们不要忘记，对还没有成为问题的事物获得一致意见，既有可能意味着一个普遍的真理，也有可能意味着一个普遍的错误。确实，人类总是对疑点和模糊性有某种感觉，这种感觉是如此之普遍，以至于人们从哲学家的不一致（non…agreement）中有可能得出正确的猜测，我们每每扫视哲学史的时候都能看到这一点。但是，这种不一致并不是由于人类心智的不完善，也不是由于可以完善的知识当下的不足，一句话，这不是由于缺陷，而是由于命运和历史必然性——这就是一个发现。对深刻的和终极的事物得出结论，不能通过设定一些恒量，而要通过研究差异，通过发掘差异的有机逻辑来达成。知识形式的比较形态学是西方思想至今仍有待攻克的一个领域。
四
如果数学是像天文学或矿物学一样的一种纯粹科学，那要界定它们的对象应当是可能的。可以前从事数学研究的人并没有、也没有能力这么做。我们西欧人对数字提出了自己的科学观点，为的是完成雅典和巴格达的数学家所从事的相同的任务。但事实是，在雅典和巴格达，类似名称的科学的主题、意图和方法与我们自己的完全不同。根本就不存在单一的数学，而只存在不同的数学。我们所谓的“数学史”，意指的仅仅是某个单一的、不变的理想的逐步实现，而事实上，在数学史的虚饰的表面底下，是一大堆自足的、彼此独立的发展的复合体，是一个不断重复的过程，在那里，总有新的形式世界的诞生，也有对旧的陌生的形式世界的挪用、转变和剥离，总之，这是一个发生于每个特定时期，并要经历从开花到成熟、从枯萎直至死亡的过程的纯粹有机的故事。研究者决不可上当受骗。古典心灵的数学几乎是从一片空无中萌生出来的；而历史地构成的西方心灵已经拥有了古典科学（不是内在地服膺，而是经由学习外在地获得的），因此它只能通过对后者作明显的改变和完善来成就自身的科学，可事实上，它还得摧毁那本质上与之疏离的欧几里得体系。第一种情况的代表便是毕达哥拉斯，第二种情况的代表是笛卡儿。在这两种情况中，归根到底，行为都是一样的。
在这个方面，一种数学的形式语言跟和数学同源的主要艺术的形式语言之间的关系，是毋庸置疑的。思想家的气质与艺术家的气质之间的差异固然很大，但各自醒觉意识的表达方法在内在的方面可谓是同出一辙。雕刻家、画家、作曲家的形式感，就其性质而言，本质上都是数学的。在17世纪的解析几何和投影几何中所体现出来的对一个无穷世界作的相同的、富有启发的秩序化，也使同时代的音乐生气盎然、活力弥漫，后者正是从通奏低音的艺术中发展出可称作音响世界的几何学的和声技术的；同样地，这种对无穷世界的秩序化，也激发同时代的绘画发展出了透视原则（这是只有西方人才会知道的有关空间世界的知觉几何学）。对于这一富有启发的秩序化，歌德称之为“在直观领域直接地领会形式的观念，对于这种形式，纯粹科学不能领会，而只能观察和分割”。数学超出了观察和分割的范围，它在其最高级的时刻可以通过想象而不是抽象来发现自己的道路。还是歌德，曾说过一句意味深长的名言：“数学家只有在他从自身之中感受到真实的美时，他才是完备的。”在此，我们当可感受到，数字的奥妙与艺术创作的奥妙，其关系是何等的紧密啊！也是因此，天生的数学家的位置，常常可以和赋格曲、雕刻、绘画等领域的大师排在一起；他和他们一样，都努力且必须努力去实现万物的伟大秩序，给那秩序穿上象征的外装，使其能同下里巴人进行交流，让他们在自己的内心去倾听那秩序，而不是富有成效地去占有那秩序；数字的王国，跟音调、线条、色彩的王国一样，皆是世界形式的意象。正是因为这一点，“创造性”一词在数学领域比在纯粹科学领域意味着更多的东西——牛顿、高斯、黎曼（Riemann）都是天生的艺术家（artist…nature），我们知道，他们的那些伟大的概念都是不经意间的神来之物。老维尔斯特拉斯（Weierstrass）曾经说：“一个数学家若不同时也是一个诗人，就决不是一个真正的数学家。”
因而，数学就是一门艺术。如是言之，那它必定有自己的风格和风格期（style…periods）。它不是像门外汉和哲学家（在这个问题上，他也是门外汉）所认为的那样实质上是不可改变的，而是像每一种艺术一样在各个时代皆有其难以觉察的变化。当我们在处理伟大的艺术的发展时，也要（确然地而不是徒劳无功地）顺便看一下同时代的数学的发展。对于音乐理论的变化与对无穷的分析之间存在的深刻关系，细节从未被人深究过，尽管美学从这些细节中所学的远多于从所谓的“心理学”中学到的。如果写一本乐器史，不是（如人们时常所做的那样）从音调生产的技术角度来写，而是根据对音色和音效的深层精神基础的研究来写，则可揭示更多。因为想用声音来填满无穷的空间，乃是一种意愿，一种强烈到近乎渴望的意愿，正是这种意愿产生了——与古典的七弦琴和竖笛（里拉琴、基特拉琴；奥洛斯管、叙任克斯笛）以及阿拉伯的琵琶完全不同——键盘乐器（管风琴、钢琴等）和弓弦乐器这两大家族，并且早在哥特时期就已出现了。这两大乐器家族的发展在精神上（可能也关系到技术源头）要归功于位于爱尔兰、威悉河和塞纳河之间的北部凯尔特…日耳曼人。管风琴和古钢琴当然是英国人的功劳。弓弦乐器于1480至1530年间在上意大利获得了其确定的形式，而管风琴发展成我们所知道的一种占据空间的庞然大物，一种在所有音乐史上还不曾见到相似物的乐器，这首要的是在德国。巴赫及其时代那自由的管风琴演奏若不是一种分析——对奇妙而巨大的音响世界的分析——还能是什么。类似地，还是与西方的数字思维相一致，而与古典思维相反，我们的弦乐器和管乐器也不是单独地而是在庞大的群体（弦乐器、木管乐器、铜管乐器）中发展的，是依据四级人声的音域排列的；现代管弦乐队的历史，以及它所有新乐器的发明和老乐器的改良，事实上是一个音响世界的自足的历史，而且这是一个完全可以用高等分析的形式加以表现的世界。
五
大约公元前540年，当毕达哥拉斯学派得出数是万物的本原的观点时，所迈出的决不是“数学发展中的一小步”，而是一种全新的数学的诞生。这一新的数学，很久以来，形而上学的提问方式和艺术的形式倾向就已经预示出来了，而现在，由古典心灵的深处迸发而出，形成为一种系统阐发的理论，一种在一幕场景或一个伟大的历史时刻诞生的数学——如同埃及人的数学、巴比伦文化的代数天文学及其黄道坐标系统（ecliptic co…ordinate system）诞生的情形一样。但这种数学是全新的，因为那些古老的数学早已消失无形了，而埃及的数学从未形诸于文字。公元前2世纪所完成的古典数学，亦随古典时代的转换而消失（尽管表面上看，它甚至在今天依然存在，可仅仅是作为一种便利的记号存在着），让位于阿拉伯数学。从我们对亚历山大里亚数学的了解中，可以得出这样一个必要的假设：在中东地区曾出现一次伟大的运动。运动的重心当然是一些波斯…巴比伦学派，如以得撒（Edessa）、贡狄萨坡拉（Gundisapora）和忒息丰（Ctesiphon）等地的学派，至于它们是如何传入讲古典语言的地区，我们只知道一些细枝末节。尽管都有希腊名字，但亚历山大里亚的数学家们——如研究等周形的芝诺多罗斯（Zenodorus）、探讨空间中的和谐面束（harmonic pencile in space）的特性的塞里努斯（Serenus）、介绍迦勒底人的圆周划分法的希普西克勒（Hypsicles），尤其还有丢番图（Diophantus）——毫无疑问全都是阿拉米人（Aramaeans），他们的著作仅仅是主要写于叙利亚的文献的一小部分。可见，这种数学在阿拉伯…伊斯兰思想家们的研究中获得了其完整形式，不过，在这些思想家之后，数学发展又一次出现了一个漫长的间断。接下来，产生了一种全新的数学，那就是西方人或者说我们自己的数学，我们出于一种迷恋而将其称之为“Mathematics”，认为它是两千年演进的顶峰和最终目标，尽管事实上，严格来说，直到今天为止，它也不过存在了区区可数的几百年而已。
古典数学中最有价值的东西，便是它的这一命题：数是一切可为感官所感知的事物的本质。把数定义为一种度量，这体现了一个热情地投身于“此时”e “now”）、“此地”e “here”）的心灵的整个世界感。在这个意义上，度量意味着对某个切近而具体的事物的度量。看一下古典艺术作品的内容，例如那些自由矗立的裸体人像：在此，存在的每一本质的和重要的要素、它的整个节奏，由雕塑的各个部分的表面、向度及可感觉到的关系毫无保留地表现出来了。毕达哥拉斯学派有关数的和谐的观点虽然有可能是从音乐中演绎出来的——应当注意，这一音乐并不知道所谓的复调或和声，由之而形成的乐器是为了表现单一的、丰满的、近乎清新的音调——但它似乎已成为怀有这一理想的雕刻家的典范。那被加工过的石头仅仅就是一块石头，只考虑其大小，只量度其形式；它到底是什么，这要取决于它在雕刻家的刻刀下会成为什么。没有了雕刻家的凿刻，它就只是一团混沌，是尚未实现成形的事物，事实上，在未经雕凿之初，它根本不具任何意义。与此相同的感受，转移至更高阶段的创作过程中，便形成了与混沌状态正相对立的宇宙秩序（cosmos）。对于古典心灵来说，所谓“宇宙秩序”，意味着外在世界的一种清晰状态，一种和谐的秩序，那各自独立的事物，作为一个完好地界定的、可理解的和在场的整体，都包含在这一秩序中。这些事物的总和恰好构成了整个世界，而存在于它们之间的各交互空间——在我们看来，这些空间充满了“宇宙空间”（Universe of Space）的生动象征——对于古典人来说不过是