人第二次问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人又都说“不知道”。局外人第三次问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人又说“不知道”。局外人又问第四次：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”这时4个人均说：“知道了！”
你能知道，他们中有几个人戴红色的帽子？几个人戴白色的帽子？
答案是，4个人都戴红色的帽子。你知道为什么吗？
当局外人未宣布“至少一个人戴的是红帽子”时，这个事实其实每个人都知道了，因为每个人看到其他3个人的帽子都是红色的。但这个事实在局外人未做宣布之前尽管是这4个人的知识，但不是他们的公共知识。而当这个局外人做了宣布了之后，“至少一个人帽子是红色的”便成了公共知识。此时不仅每个人知道“至少一个人的帽子是红色的”这个事实，每个人知道其他人知道这个事实……
如果只有1个人戴红色的帽子，那么，当局外人第一次问时，这个人因面对3个戴白色的帽子、必定知道自己的帽子颜色，他必定会回答“知道”。因此，当4个人第一次均回答“不知道”时意味着，4人中“至少有2人戴的是红色的帽子”，而且这也成了新的公共知识。
当局外人第二次问时，因为上述推理，如果只有2人戴的是红色的帽子，这2人就会回答说“知道”——因为他们各自面对的是1个戴红色帽子的人，这戴红色帽子的2个人马上知道自己戴的是红色的帽子。因此，局外人第二次问他们而他们回答“不知道”，此时，意味着，4人中“至少3个人戴红色的帽子”，并且它也成了该群体新的公共知识。
同样，当局外人第三次问时，他们回答的“不知道”，意味着4个人均戴的是红色的帽子。此时，他们每个人都知道他们头上都戴着红色的帽子，并且这也是公共知识。
因此，当局外人第四次问时，他们4个人马上说“知道”。
在这个过程中，当局外人首先宣布“其中至少一个人的帽子是红色的”，以及每次的回答（无论是回答“知道”还是“不知道”）构成该群体新的公共知识——构成所有人推理的前提。
这就是“帽子的颜色问题”。本人将这个问题简化了。原来的问题是这样的：有一个游戏，有一个主持人和戴着两种颜色帽子的一群人（假定有n人），每个人的帽子的颜色或者是红色或者是白色，但这n个人不能看到自己的帽子的颜色却看得到其他人的帽子的颜色。游戏的主持人说：“你们中至少一个人的帽子是红色的。”主持人开始一次次地问：“你们知道不知道自己的帽子的颜色？”现在的问题是：当主持人问到第几次时，才有人说“知道”？并且多少人说“知道”？
据说，这个问题在20世纪曾风靡欧美。
皇帝新装的新解读
我们都熟悉安徒生的童话《皇帝的新装》。
从前，一个皇帝爱穿漂亮的衣裳。有两个骗子对皇帝说，他们能做出世界上最漂亮的衣服，这衣服不仅华丽，而且穿上它后能知道谁是愚蠢的人，因为愚蠢的人是看不见这衣服的。皇帝相信骗子的话，给了骗子许多金子，让骗子开始织布。两个骗子在织机旁煞有其事地忙碌着。皇帝派他的宠臣去看看工作的进度，然而他们惊呆了：天啊，我什么也看不见！他们想，难道我是愚蠢的人？我不胜任自己现有的权位？这是多么可怕的事啊！但好在其他人不知道。于是他们装着看见的样子，称赞布料是多么多么的漂亮，骗子向他们描述布料的色彩和图样，他们点头称是。回去后，他们将骗子的话汇报给皇帝。皇帝亲自来看衣服制作的进度，他也同样被眼前的情景惊呆了，因为他什么也没看见！他当然看不见，因为确实什么也没有。皇帝也怀疑自己是愚蠢的人，但他想，千万不能让别人知道我看不见布，千万不能让我的臣民知道我是愚蠢的人，于是他也同样夸赞起布来。
全城庆典的那天，骗子装模作样地赶制好了衣服，皇帝脱掉了他原来的衣服，骗子做出给皇帝穿衣服的样子。当骗子给皇帝穿好所谓的“新衣服”后，皇帝步出宫殿，向他的臣民致意。皇帝在大街上被他的臣子们簇拥着行走，什么也没穿。他的臣民们都看着没穿衣服的皇帝，然而他们怕别人知道自己是愚蠢的人，不敢承认自己没有看到皇帝没有穿衣服。
这时，一个小孩突然说：“其实皇帝什么也没穿啊！”这一声无疑是晴天霹雳。老百姓开始议论纷纷，私下传着这个天真无邪的小孩的话，人们开始相信小孩说的话是对的。皇帝也知道了老百姓们的窃窃私语，他想老百姓的话可能是对的，但他没办法就此回头，他坚持把*进行下去，他硬着头皮高傲地向前走去。
在这个童话中，骗子们所谓的皇帝的新衣服其实什么也没有，每个人都没有看到皇帝的新衣服，或者说，每个人所看到的是皇帝没有穿衣服。但每个人都不相信自己所看到的是事实——“看到”和“相信”是两回事。对每个人来说，“皇帝什么都没穿”没有构成他们的知识，当然更不是他们之间的“公共知识”。
这里有一个虚假信念在误导着他们：如果我没看见皇帝的新衣服意味着我是愚蠢的。因此，每个人尽量地不让其他人了解自己没看见皇帝的新装。尽管每个人都没有看到皇帝的“新衣服”，每个人包括皇帝在内，都在说着假话，硬说自己看见了新衣服。每个人都在谎言下生活。这就是一个均衡，一个大家都“说谎的均衡”。
小孩说出“其实皇帝什么也没穿”后，小孩的话传到每个人那里，“其实皇帝什么也没穿”便成各个人的知识，自然也成了公共知识。原来的均衡打破了。
安徒生的这个童话里让小孩子说出真话有他的用意，小孩子是真诚的，不受错误的世俗观念污染的。说真话的小孩使人们所看到的东西成为知识，同时成为公共知识。
“教—学”均衡的公共知识条件——教育的公共知识结构分析
我们不一定做过教师，但生活于现代社会的我们必定做过学生。
我们离不开教师。我们上小学，教师教我们识字、教加减乘除；我们上中学，教师教我们几何、代数；我们上大学，教师教我们未来生存的专业知识。当然，在任何时候，教师教我们做人的道理。“师者，传道，授业，解惑也。”
如果我们对学生—教师的知识结构作一分析，我们会发现，教育有着特别的知识结构。
教育有什么样的结构？对于教师，教师知道他或她应该知道某些知识，学生知道他们的教师知道他们想学的知识，教师也知道学生知道他或她拥有某些知识。即：教师知道某些要求的知识是公共知识。我们用K1p表示“教师知道某些学科的知识”。1代表教师，K代表知道，p代表学科的知识。K1p为公共知识。
同时，学生不知道教师知道的学科性知识，学生对这些知识的无知也成为公共知识。即：教师知道学生对这些知识的无知，成为学生和教师间的公共知识，同时也是全社会的公共知识。我们用~K2p表示“学生不知道某个学科的知识”。2代表学生，p代表学科知识，~K表示不知道。~K2p也是公共知识。
K1p和~K2p不仅是教师和学生间的公共知识，同时也是社会的公共知识。因此，之所以教师站在讲台上，处于“教”或“传授”的位置，而学生坐在课桌前处于“学”或“聆听”的位置，就是因为有这样的公共知识存在。“教—学”或“讲授—聆听”构成一博弈均衡。如果没有这样的知识构成，“教—学”或“讲授—聆听”的均衡便不会形成。
这样的均衡何时会打破呢？
我们说，既然“教—学”的均衡依赖于公共知识K1p和~K2p ，一旦这样的知识构成被打破，“教—学”之间的关系将被终结。这里有两种可能情况：第一，K1p不是公共知识。或者因为教师不具有这些知识，或者教师具有这些知识但没有成为公共知识，“教—学”的均衡不能形成，这个教师便不能站在讲台上。第二，通过一段时间的学习，教师将知识教给了学生，学生也知道了教师讲授的东西，学生将离开该课堂，此时“教—学”均衡也被打破了。
当然，要注意的是，K1p和~K2p为公共知识，只是“教—学”均衡形成的必要条件，而非充分条件。
诸葛亮、周瑜的掌中之“火”
《三国演义》描写了这样的故事：曹操带领大军进攻东吴，诸葛亮来到东吴，劝说东吴与刘备一起抵抗曹操大军。吴军都督周瑜向诸葛亮请教如何破曹操的百万大军。周瑜说，我昨天察看曹操水寨，极为严整、有章法，不是一般人所能够攻破的。我想了一个计策，不知道是否可行，请先生为我决策。孔明则说：都督暂不要说，我们各自写在手上，看一看是否一样。
瑜大喜，教取笔砚来，先自暗写了，却送与孔明；孔明亦暗写了，两人移近坐榻，各出掌中之字互相观看，皆大笑。原来周瑜掌中字，乃一“火”字；孔明掌中亦一“火”字。瑜曰：“既我两人所见相同，更无疑矣。幸勿漏泄。”
在诸葛亮和周瑜未在掌中写出“火”字之前，或者尽管他们在掌中写出“火”字但没有互相观看之前，火攻曹操为一个致胜的妙计是他们两个人所知道的，但不是公共知识。因为周瑜不知道诸葛亮知道这个策略。此时很有可能的是，诸葛亮知道周瑜知道这个策略，但周瑜以为诸葛亮不知道他知道这个策略。而当两人在手中写出“火”字，并“互相观看”之后，这个策略可以取胜为他们的公共知识。
诸葛亮与周瑜将“火”字写在掌中，并互相观看，这样的行为使他们的知识结构发生变化。在这个过程，知识结构发生变化的群体只有诸葛亮和周瑜两个人，而无其他人，“诸将皆不知其事”。如果其他（尤其是曹操）知道火攻为诸葛亮和周瑜之间的公共知识，那么火攻策略便不能战胜曹操，赤壁一战便会出现另外的结果。知识的分布关系到战争的成败。
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将军的困境与公共知识形成悖论
我们在生活中经常见到某些场合下，两个人为某件事情会心一笑，此时两人达到了默契。如果用公共知识的概念来解释，就是说两人都知道了某些知识，而且他们知道对方知道自己知道了该事情……即该事情是他们的公共知识。他们不通过言语使某个公共知识得以形成。
两个默契的双方不用语言就可形成某个公共知识，而在有些时候，即使用语言多次传递某个信息，该信息也难以成为公共知识。我们来看一看著名的“协同攻击难题”中公共知识是如何难以形成的。
两个将军各带领自己的部队埋伏在相距一定距离的两个山上，等候敌人。将军A得到可靠情报说，敌人刚刚到达，立足未稳。如果敌人没有防备，两股部队一起进攻的话，就能够获得胜利；而如果只有一方进攻的话，进攻方将失败。这是两位将军都知道的。A遇到了一个难题：如何与将军B协同进攻？那时没有电话之类的通讯工具，而只有通过派情报员来传递消息。将军A派遣一个情报员去了将军B那里，告诉将军B：敌人没有防备，两军于黎明一起进攻。然而可能发生的情况是，情报员失踪或者被敌人抓获。即：将军A虽然派遣情报员向将军B传达“黎明一起进攻”的信息，但他不能确定将军B是否收到他的信息。事实上，情报员回来了。将军A又陷入了迷茫：将军B怎么知道情报员肯定回来了？将军B如果不能肯定情报员回来的话，他必定不会贸然进攻的。于是将军A又将该情报员派遣到B地。然而，他不能保证这次情报员肯定到了将军B那里……
这就是著名的协同攻击难题（coordinated attack problem），它是由格莱（）于1978年第一次提出。糟糕的是，有学者证明，不论这个情报员来回成功地跑多少次，都不能使两个将军一起进攻。9
在协同攻击难题中，两个将军协同进攻的条件是：“于黎明一起进攻”是将军A、B之间的公共知识，然而，无论情报员跑多少次，都不能够使A、B之间形成这个公共知识！如果你是这两位将军中的一个，你有什么办法？
在这个难题中，一个新的公共知识形成的悖论出现了：公共知识是群体中的人们进行交流、协作的必要前提，实际中我们确实能够进行交流协作，但从逻辑上一个新的公共知识无法形成。这样就形成一个悖论。
这个悖论类似于阿基里斯追不上乌龟的芝诺悖论。从逻辑上，跑得很快的阿基里斯永远追不上跑得很慢的乌龟：他要追上乌龟必须要经过乌龟出发的地方A；但当他跑到这个地方的时候；乌龟又向前爬了一段距离、到达了新的一点； 阿基里斯要追上乌龟必须跑到这新的一点；但当他追到该点时候；乌龟又爬走了……因此，阿基里斯永远也追不上乌龟。而事实上，阿基里斯能够追上乌龟，只要他的速度快于乌龟。这是我们不容置疑的常识。理论与事实发生矛盾。
交流与公共知识的形成
若我们假定交流者的言语行为是同时的，即听和说之间不存在延时；并且假定听和说者都是真诚的，那么说者表达出来的知识立即成为听和说者之间的公共知识。
不同的认知主体的认知结构一样即均分为信念、怀疑、无知世界，认知世界里的元素往往因认知主体的不同而不同。
如，信仰亚里士多德物理学的科学家和信仰哥白尼学说的科学家之间的不同在于，前者所相信的命题“太阳围绕地球转”在后者那里则属于怀疑世界里。任何一个主体的认知世界随认知的变化而变化，通过言语交流是获得新的认知的一种方式。
言语博弈如何改变群体的认知世界呢？通过辩论——证明与反驳，对话者能够改变对方的信念，当然也可以改变自己的信念。辩论能够使认知世界里的元素发生变化，但这不是必然的。如：“地心说”的信奉者和“日心说”的信奉者都能够给出支持它们信念的证据，然而这些证据不能对他们的信念提供决定性的证明。通过辩论而使信念发生改变的逻辑过程和心理过程是重要的研究课题。
如果某个命题是某一个群体中所有都知道的，该语句能够被表达吗？该命题能够被表达。因为所有人都知道该命题，不表明表达者知道他人知道该命题，不表明他知道他人知道他知道该命题……何时才会发生某人不说某句话呢？这个条件是：该真命题是群体的公共知识！
在《关于知识的推理》中作者说诙谐地说，“公共知识”是傻瓜知道的知识，而“隐含知识”是聪明人才知道的知识。公共知识是大家知道、大家都知道大家知道……的知识。既然四傻瓜都知道的知识，那么，它有表达的必要吗？
因此，我们这里得出一个群体存在“听…说”的条件：某个命题得以表达的条件是，它不是一个群体的公共知识。
这个条件表明，所表达的必定不是群体的公共知识，但不被表达的一定是公共知识吗？不一定。比如，一个群体都无知的东西是无法进行表达的。
一个群体的认知结构通过交流发生变化，即公共知识发生增加。这个过程当然会达到一个极限，这个极限便是：任何新的表达都只能是公共知识，此时群体的任何言语都无认知意义。若交流仅限于认知，这个群体此