投票体可表示为（12；4，4，4，2，2，1）。下表为各国的票数与夏普里—舒比克权力指数：
表3…4 1958年欧共体各国的权力分析
国家
德国
法国
意大利
比利时
荷兰
卢森堡
票数
4
4
4
2
2
1
权力指数
14/60
14/60
14/60
9/60
9/60
0 从上表中可看到，卢森堡尽管有1张票，但其权力为0，即尽管卢森堡的财政部长每次都在投票，但他在任何情况下对议案均不会产生任何影响。卢森堡完全是一个摆设！它作为傀儡而存在！
夏普里与舒比克分析了联合国安理会的权力分布。1965前联合国安理会有5个常任理事国和6个非常任理事国。常任理事国有否决权，非常任理事国无否决权。联合国安理会规定，一个提案通过的条件是：有7张赞成票且5个常任理事国无否决票。夏普里与舒比克用他们的方法计算出，5个常任理事国的权力指数之和为，6个非常任理事国的权力指数之和为。12据夏普里与舒比克的分析，美国总统与参议院及众议院的权力指数之比为2∶5∶5，而总统与一个参议员、一个众议员的权力比为：350∶9∶2。就是说，美国总统的权力几乎是一位参议员的权力指数的40倍，是众议员的175倍。
夏普里—舒比克权力指数也可用于经济分析。夏普里与舒比克在《评价委员会中权力分布的一个方法》中说：一个有股份40％的股东，其权力为各拥有的400个股东的每个股东权力的1000倍，尽管股份比为400：1。
经过博弈论专家的研究，夏普里—舒比克权力指数与班扎夫权力指数是等价的。
聪明的股东：班扎夫权力指数的应用
班扎夫权力指数比夏普里—舒比克权力指数直观，我们在下面举一个班扎夫权力指数的应用。
有一个股份公司，有5个股东，他们是A、B、C、D、E。在公司重大决策上，公司法规定，遵循“一股一票原则”——即每个股东的票数与他所持的股数相等，“大多数原则”——某项议案能否通过取决于是否得到51％或以上的票数（或股数）的同意。5个股东均同意这两个原则。
5个股东在公司成立时均拥有相同的股份20％，随着经营的变化，股东的想法出现分化。B、C、D、E想逐渐减持股份，而A想多拥有一些股份。而B、C、D、E又不想让A完全控制公司——根据“大多数原则”拥有51％或以上的股份即有绝对的说话权。
B、C、D、E各减持了3个百分点，A增加了12个百分点。此时A、B、C、D、E拥有的股份分别为32％、17％、17％、17％、17％。
A认真想了想，向B、C、D、E提出各减持1个百分点而他自己拥有36％股份的要求。B、C、D、E想，A拥有36％的股份，不超过50％，不能完全控制该公司，也就同意了A的要求。此时A、B、C、D、E分别拥有的股份为36％、16％、16％、16％、16％。A达到了目的。
为什么A要多持4个百分点的股份？
通过分析，我们看到，A的股份由32％增加到36％，虽然股份仅增加了4个百分点，但他的班扎夫权力指数发生了突变。A占了便宜。
让我们将这5个股东的股份与班扎夫权力指数、班扎夫权力指数比列于下面三个表格。
表3…5 股份的变化与班扎夫权力指数比的变化：股权情况1
股东
股份（％）
班扎夫权力指数
班扎夫权力指数比（％）
A
20
6
20
B
20
6
20
C
20
6
20
D
20
6
20
E
20
6
20表3…6 股份的变化与班扎夫权力指数比的变化：股权情况2
股东
股份（％）
班扎夫权力指数
班扎夫权力指数比（％）
A
32
6
20
B
17
6
20
C
17
6
20
D
17
6
20
E
17
6
20
表3…7 股份的变化与班扎夫权力指数比的变化：股权情况3
股东
股份比（％）
班扎夫权力指数
班扎夫权力指数比例（％）
A
36
14
63．636
B
16
2
9．091
C
16
2
9．091
D
16
2
9．091
E
16
2
9．091
从表3－5至表3－7可见，在5个股东之间平均持股的情况下，即均持有20％的股份，班扎夫权力指数也是平均的。当股份发生偏离时，如股东A持有的股份多几个百分点、其他股东仍持同样的股份，班扎夫权力指数比还不发生变化。从表3－5可看到，当A拥有32％的股份时，班扎夫权力指数还是平均的，在这种股权结构下，对A来说是最不公平的，他拥有的股份是其他股东的近两倍，但权力却一样！
但是当A的股份再有所增加，而其他每个股东降低一个百分点时，班扎夫权力指数比发生突变。A的班扎夫权力指数一下子由6增加到14，班扎夫权力指数比由20％增加到，而其他股东的班扎夫权力指数由6降低到2，班扎夫权力指数比则由20％降到。
A此时虽然不能拥有51％的股份或以上而有100％的决策权，但由于他在决策时作为高获胜联盟中的关键加入者，要比其他4个股东的班扎夫权力指数高得多，因此他的权力比其他股东大得多。
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逻辑结构与投票影响度
为什么在上面“丈夫—妻子”的例子中丈夫与妻子不拥有相同的权力呢？为什么Saha国原来的投票体制（16；9，7，3，1，1）拥有的票数分别为3、1、1的三个省不具有权力呢？上面通过指出投票者在形成获胜联盟中作为“关键加入者”的个数，得出他权力的大小。而这也可从整个群体决策的逻辑结构中分析。
假定妻子是A，丈夫为B，在上述幽默中，对事情决定的逻辑式是：
F=AB＋A＇AKB～＇（3…1）
这里，“F”表示表决结果，“F=1”表示得到通过，“F=0”表示没有通过。“AB”是丈夫B与妻子A意见相同的逻辑项，A＇AKB～＇是他们意见不同的逻辑项。表面上两者有相同的权力，其实（3…1）等值于下式：
F=A （3…2）
从（3…2）中可以看到，妻子是“*者”，在现实中这个丈夫是幸福的“被统治者”。但是在政治生活中，如果出现这样的*的行动结构，*者有绝对的说话权力，而被统治的人民则没有任何发言权，被统治者则是不幸的。
（3…2）是*的一般的表达式，A是*者对某项事情进行表决的值，“A=1”表示他“同意”，“A=0”表示“不同意”。、
例如，假定这个社会由3个人组成：A、B、C，其中A是*者。我们可以将B、C表示进*社会的F=A的逻辑式中，尽管B、C在其中对F的值没有影响：
F=A
=A（B＋〖AKB～〗）（C＋〖AKC～〗）＝ABC＋AB〖AKC～〗＋A〖AKB～〗C＋A〖AKB～〗〖AKC～〗＇JY＇（3…3）
变化后的式子尽管复杂，然而B、C根本不起作用。
3个人的*社会的逻辑式是什么样的呢？假定这3人决定服从“大多数原则”，即对一项决定有二人同意即通过，假定“F=1”表示通过，“F=0”表示否决。“1”表示决策者表示“同意”，“0”表示“不同意”。那么*的逻辑结构是：
F=AB＋AC＋BC（3…4）
要说明的是，“AB”、“AC”、“BC”的意思是“逻辑乘”，如“AB”的取值是：A、B均等于1时取1，A、B有一个取0就得0。而“＋”为“逻辑和”，如“A＋B”的取值为：只要A、B有一个取值为1就为1，A、B取值均为0时为0。
（3…4）与（3…2）完全是不同的。对于（3…4）这样的结构，每个人对结果没有绝对的控制权，而只有部分决定权，A、B、C每个人的权力是均等的。
*的社会是所有投票者都能影响表决结果的社会，不过不同的*方式，群体的大小不同，每个投票者在里面的影响程度不同。
在Saha国，我们分别用A、B、C、D、E、F代表Alice 、Bline、Cinda、Duhe、Eho、Frida六个省份。在原有的投票体制（16；10，9，7，3，1，1）下，获胜的最小联盟为：AB，AC，BC。
在本人看来，用最小获胜联盟来衡量个体在集体投票行动或博弈中的权力可能更合适，因为在最小获胜联盟中，每个投票者都是关键加入者，计算此时每个参与人作为关键加入者的个数是合理的，而在非最小获胜联盟中某个非关键加入者对联盟没有贡献，应当将它删去。
最小获胜联盟可用逻辑的方法来表示，各个最小联盟的“逻辑和”构成一个投票博弈的结构。Saha国原来的投票体制（16；10，9，7，3，1，1）的逻辑结构为：
F=AB＋AC＋BC （3…5）
它与三个人的投票体制的逻辑结构是一样的。而在新的投票体制（17；12，9，7，3，1，1）下，最小的获胜的“逻辑和”为：
F=AB＋AC＋BCD＋BCE＋BCF＋ADEF （3…6）
从逻辑结构的角度来看，原有的投票体制中，D、E、F三省不存在任何权力。新的体制下，D、E、F的权力得到改进。
我们可以用一个决策者说“是”和说“不”时议案获得通过的概率之差来反映它的权力。这个值反映了他对整个行动决策的影响程度，我们可称之为“投票影响度”，它的大小构成投票者权力的大小。某个投票者的投票影响度d（A）的公式是：
d（A）= p（A=1）… p（A=0）
其中，p（A=1）和p（A=0），分别为A“同意”和“不同意”时整个议案得到通过的概率。
在这里，我们假定其他投票者的概率为1/2，这个假定是说，每个投票者对某项议案事先的态度居于“中位”，或者说平均而言是1∶2，也可以认为是“先验概率”。在（16；10，9，7，3，1，1）投票体制下，我们可以算出这六个省份的影响度为：d（A）= d（B）= d（C）= 1/2；d（D）= d（E）= d（F）=0。
而在（17；12，9，7，3，1，1）投票体制下，投票影响度d（A）= 21/32；d（B）= d（C）= 7/16；d（D）= d（E）= d（F）=1/16。此时权力之比为：21∶14∶14∶2∶2∶2。
这种方法的结果与权力指数的计算结果几乎一样。 txt小说上传分享
民主社会中为什么很多人不投票？
投票者可以通过判断群体决策的结果对自己的有利程度来投票，即判断F=1与F=0给他带来的好处来决定，因此他的选择是较简单的：如F=1对自己有利就选择“同意”（1），否则就“不同意”（0）。
但是，在互动过程中，投票者要考虑的另外一个重要的问题是他的投票对决策的影响程度。如果他对整个社会或集体的决策影响大，他的权力大，他的积极性就高，反之他的积极性就低。而权力反映在上面所说的投票影响度上。
在一个群体中，一个人对一项决策可以完全由他决定，那么他就是*者，*者的投票影响度为1。而*制度下的臣民对投票结果的影响程度为0。在*制度下，每个投票者对结果的影响程度必定是介于0和1之间的一个值。
在一个人数很多的采取*投票的群体中，投票者由于考虑到他对投票结果的影响程度低，投票不积极，或者说，干脆不投票。让我们分析这个情况。
在3个人组成的群体中，“大多数原则”下逻辑式为（3…4），每个人的投票影响度可求得为：d（n=3）=1/2。
通过数值计算我们求得：
d（n=10）=
d（n=50）=
d（n=100）=
如果我们用一个百分比来衡量影响程度，投票者投票的“影响比率”为：
通过计算我们可得：
r（n=3）=300％
r（n=10）=％
r（n=50）=
r（n=100）=
由此可见，随着人数的增加，影响比率在降低。当人数达到上千万上亿的时候，每个投票者对投票结果的影响度近于0，即几乎没有影响，它反映的是在人数很多的情况下，人们的权力太小了，几乎是0。这也就是为什么在*社会中许多选民不投票的原因。
因此，对于一个有很多人组成的社会，尽管在“大多数原则”下*投票是揭示群体偏好的一个好的方法，它是“正义的”，但在进行*投票表决时，每个人有充分的投票意识是至关重要的。虽然个人的投票对选举结果影响不大，但他要意识到，投票不仅仅是他神圣的权利，更重要的是他为社会所尽的义务。只有这样才能摆脱*中投票存在的不投票的问题。
一个群体中有多少种可能的权力结构？
我们已经说明：投票是揭示群体各投票者的偏好的方式。但是投票结果取决于逻辑结构。在上面的例子中我们已经表示了“*的”和“大多数原则”的*方式。这只是投票博弈的两种方式，只是权力分配的两种方式。一般地说，对于n人组成的社会有多少种可能的权力结构呢？
在A、B两人组成的最简单的群体中，从逻辑可能性的角度，A、B之间有16种可能的决策结构，但有以下4种决策方式是常见的，或者能在现实中找到意义的。它们是：
（1） F=A，（2）F=B，（3）F=A＋B，（4）F=AB。
在（1）和（2）中分别是A、B说了算的*式的决策结构。在（3）、（4）中A与B有相等的决策权力，但是在（3）中，只要有一个人同意就通过，在（4）中要A、B两人同时同意才行。
因此在方式（3）中的决策比方式（4）中的决策要容易。
夫妻间的决策是现实的例子。他们间的决策无非是这4种方式。也许在*的夫妻间，重大的决策采取的是（4），即夫妻均同意才去做，如：夫妻商量着决定买房、孩子上学，等等。对一些小事或者一些临时碰到的事情则可能采取的是（3），比如每天买什么菜这样日常生活或工作中的小事。读者不妨想一想是不是这么一回事情。
其他12种呢？这12种是：
（5）F=＇AKA～＇，（6）F=＇AKB～＇，（7）F=＇AKA～＇＋B，（8）F=＇AKA～＇＋＇AKB～＇，
（9）F=A＋＇AKB～＇，（10）F=＇AKA～＇B，（11）F=＇AKA～＇＋＇AKB～＇，（12）F=A＋＇AKB～＇，（13）F＝＇AKA～＇B＋A＇AKB～＇，（14）F＝＇AKA～＇＇AKB～＇＋AB，（15）F＝1，（16）F＝0。
其中（15）、（16）是两种特殊的逻辑结构，即投票结果为常数，与投票者是否投票无关。
怎么解释其他10种呢？
可以这么认为，一旦在决策的逻辑结构中存在“逻辑非”，表明在投票中存在“相互的策略投票”，即：投票者不仅要考虑自己的偏好而且要考虑他人的偏好，这10种方式反映了投票者或决策者相互的猜测。因此，这10种结构不是独立的，它们分别是上述4种的变化。它们也反映了投票时人们之间复杂的关系。
如：（5）F=＇AKA～＇，（6）F=＇AKB～＇，与F=A或F=B是同构的。但一个两人的群体的决策结构如何可能是F=＇AKA～＇（或F=＇AKB～＇）？一个解释是：F=＇AKA～＇ （F=＇AKB～＇）表明的是，B（或A）是*者，但是他的决策与A（或B）的决策正好相反！它反映了*者B（或A）这么认为：“凡是A（或B）反对的，我就赞同；凡是A（或B）赞同的，我都反对。”这只是一个解释。
对于这10种情况另外的解释是：有第三个人，他是决策的决定者，但是他的决定根据的是其他两个决策者的偏好情况。如“F=＇AKA～＇＋B”说的是A“不同意”，B“同意”，这第三个人就“同意”，否则就“不同意”。
3个人组成的群体有多少变化呢？3人组成的一个决策群体，从逻辑可能性来说，其可能的权力分配的结构相当多，有256种之多！而独立的不含“逻辑非”的逻辑结构共有13种。读者可以试着写出这些逻辑式子，并找出在现